 |
В.В.Агафонов
«Аналогия в математике»
Интересно наблюдать за тем, как люди, порой сами
того не замечая, используют аналогию в самых разных областях науки, причем
нередко обе области, между которыми аналогия проводится, получают при этом
существенную пользу.
Рассмотрим две области математики, в каждой из
которых можно найти аналогии для другой, причем с широкой областью
применимости.
В статье Р. Сафарова
«Родословная формулы» (см. журнал «Наука и жизнь», №2 за 1992 г., а также
материалы на сайте http://www.n-t.ru/nz/nz/rf.htm)
говорится следующее:
|
«Счет и простейшие арифметические действия, выполнимые лишь
с целыми числами, были освоены еще в доисторические времена. Операции с
рациональными числами были досконально изучены к античной эпохе – их
систематически излагает в своих «Началах» Эвклид. Но иррациональных чисел
античные математики не знали. Потому-то они и считали, например, что диагональ
квадрата несоизмерима с его стороной: ведь их отношение выражается «незаконным»
иррациональным числом 2. Не имея общей числовой меры, оба отрезка существовали тем не менее как геометрические объекты. И это
подсказывало выход из затруднительного положения: заменить исследование чисел
исследованием фигур. Тот же Эвклид все действия над рациональными числами
описывает на «геометрическом» языке: сложение чисел объясняет как сложение
отрезков, а их произведение выражает площадью прямых прямоугольника со
сторонами, равными данным отрезкам.
Так возникла так называемая геометрическая алгебра. Она
позволила обойти немало каверзных вопросов, но оперировать ею было нелегко. Для
тех действий, которые сегодняшний школьник выполняет с помощью формул в виде
короткой выкладки, порой приходилось подыскивать геометрические аналогии,
требовавшие изощренной изобретательности».
|
Итак, числа (рациональные
и иррациональные) в геометрической алгебре аналогичны отрезкам прямой, а
произведение их (и, как частный случай, возведение в квадрат) аналогично
площади геометрической фигуры (прямоугольника или квадрата). Подчеркиваю, аналогичны,
поскольку о тождественности этих понятий, разумеется, не может быть и речи.
С последним положением в
приведённом отрывке статьи – о том, что решения и доказательства геометрической
алгебры всегда сложнее, чем аналогичные действия на основе алгебраических
выражений, – позволю себе не согласиться.
Более того, на примере
этих двух аналогичных областей математики легко видеть одно из основных
положений метода аналогии: то, что сложно в исходной области, может
оказаться простым в области аналогии и наоборот – то, что сложно в области
аналогии, может оказаться простым, если воспользоваться понятиями исходной
области.
Приведу несколько
примеров, когда геометрические доказательства оказываются проще и нагляднее,
чем соответствующие алгебраические. Рассмотрим вывод формул сокращенного
умножения, выполненный средствами геометрии, или, если хотите, геометрической
алгебры. Указанные доказательства я нашел самостоятельно и в
литературе не встречал, но они настолько просты, что, думаю, наверняка имеются
уже в каком-нибудь из древних (или не
очень древних :)) источников, к которым я не имею доступа. Буду признателен, если кто-нибудь обнаружит такой документ и
сообщит мне о нем по e-mail.
1.
Вывод формулы (a+b)2=
a2 + 2ab + b2
Построим квадрат со
стороной a+b, проведя внутри
него прямые, соединяющие границы отрезков a и b на каждой из сторон.
Полученный чертеж
настолько прозрачен, что хочется просто написать, как писали древнегреческие
геометры: «Смотри!» – и более ничего.
Даю всё же краткое
пояснение того, что вы видите. Площадь квадрата со стороной a+b состоит из
площади квадрата со стороной a, площади квадрата
со стороной b и двух прямоугольников с площадями
ab.
То есть она равна a2 + b2 + 2ab, или a2 + 2ab + b2 . Что может быть
проще! Рискну сказать, что алгебраическое доказательство сложнее и не столь
наглядно.
2.
Вывод формулы (a2
– b2) = (a – b)(a + b)
Строим квадрат со
стороной a, внутри него квадрат со стороной b (если b<a), проводим внутри прямую, как показано на рис.2.
Мы видим, что разность
площадей квадратов равна площади двух прямоугольников – большого и малого.
Переместив малый прямоугольник так, чтобы равные стороны прямоугольников
совместились (см. рис.3),
получим прямоугольник
со сторонами (a – b) и (a + b). Следовательно, разность площадей квадратов равна (a – b)(a + b), что и требовалось доказать.
3.
Вывод формулы (a – b)2
= a2 – 2ab + b2
Из рис.4 видно, что искомую площадь
можно найти, удалив из квадрата со стороной a Г-образную фигуру из двух частично наложенных друг на друга равных
прямоугольников с площадью ab каждая. Но в этом случае площадь квадрата со стороной b удаляется дважды (зеленая область наложения на чертеже),
поэтому нужно площадь одного из этих квадратов вновь прибавить к исходной
площади. (На словах, возможно, сложновато, но вы просто посмотрите на чертеж!).
Вот и всё! Чуть
сложнее, чем для предыдущих формул, но не менее наглядно.
Если вас
заинтересовали приведенные здесь аналогии или у вас самих «придумалось» что-то
подобное, напишите мне по адресу vasily@pbox.ttn.ru
Всего
вам наилучшего!
 к началу страницы
|
|
